Kalkulus Contoh

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ dengan $\cot (x)$ .

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 1.4

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 2}{\cot (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

Langkah 2.2.4.3

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

Langkah 2.2.4.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sec^{- 2} (x)$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 2.7

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 2.8

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

Langkah 2.9

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

Langkah 2.10

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

${(1 \cos (x))}^{2}$

Langkah 2.11

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\cos^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pisahkan pecahan.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.4

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.7.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $\frac{- 2}{1}$ dan $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.9

Gabungkan $\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ dan $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.2.10

Bagilah $- 2 \cos (x) \sin (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

Langkah 3.3

Pisahkan pecahan.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

Langkah 3.5

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Langkah 3.6

Tulis $1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Langkah 3.7.2

Kalikan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Langkah 3.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 3.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

Langkah 3.10

Gabungkan $\frac{5}{1}$ dan $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

Langkah 3.11

Gabungkan $\frac{5 \cos (x)}{1}$ dan $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Langkah 3.12

Bagilah $5 \cos (x) \sin (x)$ dengan $1$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 3.13

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 7.2

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 7.2.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

Langkah 7.4

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

Langkah 7.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tulis kembali $- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ sebagai $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

Langkah 7.6.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ dengan $\cos^{2} (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ dengan $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $- \frac{5}{2}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Langkah 8.3.1.3

Pisahkan pecahan.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.4

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ke $\sec^{2} (x)$ .

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

Langkah 8.3.1.5

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$