Kalkulus Contoh

$(2 x^{3} y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Langkah 1.2

Karena $2 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x^{3} y$ terhadap $y$ adalah $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{4} + y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{4}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + y^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Langkah 2.4

Karena $y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x^{3}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x^{3}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{3} = 4 x^{3}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x^{3} = 4 x^{3}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $4 x^{3}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 x^{3}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 x^{3} y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 x^{3} y$ untuk $M$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $4 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 - 1 \cdot 2 x^{3}}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $- 1 \cdot 2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{3} (4 - 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x^{3} (4 - 2)}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{2 y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $2 x^{3} y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2 y}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $2 x^{3} y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x^{3} y$ dengan $y$ .

$2 x^{3} y \cdot y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pindahkan $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x^{4} + y^{4}$ dengan $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) y d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $y^{4}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $y^{4}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y^{1}) d y = 0$

Langkah 6.5.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4 + 1}) d y = 0$

Langkah 6.5.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{5}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} y^{2} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 y^{2} \int x^{3} d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ sebagai $2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{2}{4} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{2}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{2}}{4} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{4} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (y^{2})}{4} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + C$

Langkah 8.3.2.6

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + C$

Langkah 8.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{4}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{x^{4}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{2} x^{4}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $\frac{2 x^{4}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.3.7.2

Bagilah $x^{4} y$ dengan $1$ .

$x^{4} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} y + \frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} y = x^{4} y + y^{5}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x^{4} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $x^{4} y$ dengan $x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $y^{5}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5}$

Langkah 13

Temukan $y^{5}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{5} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{5} d y$

Langkah 13.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{5}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = \frac{1}{6} y^{6} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{y^{6}}{6} + C$