Kalkulus Contoh

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$y'' + 25 y = 0$

Langkah 2

Temukan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Langkah 2.2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 2.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Karena $A$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $A \sin (5 x)$ terhadap $x$ adalah $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.2.7

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Langkah 2.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Karena $B$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $B \cos (5 x)$ terhadap $x$ adalah $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 2.3.3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 2.3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 2.3.3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 2.3.3.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Langkah 2.3.3.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Langkah 2.3.4

Susun kembali suku-suku.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Langkah 2.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Langkah 3

Temukan $y''$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunannya.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $5 A$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 A \cos (5 x)$ terhadap $x$ adalah $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.6

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.3.7

Kalikan $- 5$ dengan $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 5 B$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 B \sin (5 x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 3.4.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 3.4.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Langkah 3.4.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Langkah 3.4.6

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Langkah 3.4.7

Kalikan $5$ dengan $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Langkah 4

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial yang diberikan.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Langkah 5.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tambahkan $- 25 A \sin (5 x)$ dan $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 25 B \cos (5 x)$ dan $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Langkah 5.2.3

Tambahkan $- 25 B \cos (5 x)$ dan $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Langkah 6

Hasil yang didapatkan sesuai dengan persamaan diferensial yang diberikan.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ adalah penyelesaian dari $y'' + 25 y = 0$