Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$ , $y (0) = - 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + \sec (x) \tan (x) d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Langkah 2.3.5

Karena turunan dari $\sec (x)$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ , maka integral dari $\sec (x) \tan (x)$ adalah $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sec (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec (x)}{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = x^{2} + \sec (x) + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

Langkah 5

Karena $y$ negatif pada sarat awal $(0, - 3)$ , hanya pertimbangkan $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $x$ dan $- 3$ untuk $y$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$ .

$- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$

Langkah 6.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$ sebagai ${(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan ${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

${(- {(0 + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

${(- {(0 + 1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

${(- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.4

Kalikan ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ dengan $1$ .

${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.5

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.2.1.3

Sederhanakan.

$1 + K = {(- 3)}^{2}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$1 + K = 9$

Langkah 6.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 9 - 1$

Langkah 6.4.2

Kurangi $1$ dengan $9$ .

$K = 8$

Langkah 7

Substitusikan $8$ untuk $K$ dalam $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $8$ untuk $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 8}$