Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16)$ , $y (\ln (2)) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{2} = e^{4 t} - 16$ . Kemudian $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{4 t} - 16$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $e^{4 t} - 16$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 16]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{4 t} - 16$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 16]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 4 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 t$ .

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.3.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{4 t}$ .

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 16]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 16$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$4 e^{4 t} + 0$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Tambahkan $4 e^{4 t}$ dan $0$ .

$4 e^{4 t}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\sin (u_{2})$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.5.3

Kalikan $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{4 t} - 16$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 16) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 16) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $\ln (2)$ untuk $t$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = - \cos (e^{4 t} - 16) + K$ .

$0 = - \cos (e^{4 \ln (2)} - 16) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \cos (e^{4 \ln (2)} - 16) + K = 0$ .

$- \cos (e^{4 \ln (2)} - 16) + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Sederhanakan $4 \ln (2)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$- \cos (e^{\ln (2^{4})} - 16) + K = 0$

Langkah 4.2.1.1.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$- \cos (2^{4} - 16) + K = 0$

Langkah 4.2.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$- \cos (16 - 16) + K = 0$

Langkah 4.2.1.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Langkah 4.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + K = 0$

Langkah 4.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 1$

Langkah 5

Substitusikan $1$ untuk $K$ dalam $y = - \cos (e^{4 t} - 16) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $K$ .

$y = - \cos (e^{4 t} - 16) + 1$