Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 3)}^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali ${(e^{x} + 3)}^{2}$ sebagai $(e^{x} + 3) (e^{x} + 3)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 3) (e^{x} + 3) d x$

Langkah 2.3.1.2

Perluas $(e^{x} + 3) (e^{x} + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 3) + 3 (e^{x} + 3) d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 3 + 3 (e^{x} + 3) d x$

Langkah 2.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Langkah 2.3.1.3.1.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Langkah 2.3.1.3.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

Langkah 2.3.1.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 3 e^{x} + 3 e^{x} + 9 d x$

Langkah 2.3.1.3.2

Tambahkan $3 e^{x}$ dan $3 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 6 e^{x} + 9 d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2.3.3

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 2.3.3.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2.3.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2.3.7

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 \int e^{x} d x + \int 9 d x$

Langkah 2.3.8

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 (e^{x} + C_{3}) + \int 9 d x$

Langkah 2.3.9

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 (e^{x} + C_{3}) + 9 x + C_{4}$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 6 e^{x} + 9 x + C_{5}$

Langkah 2.3.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 6 e^{x} + 9 x + C_{5}$

Langkah 2.3.12

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 9 x + 6 e^{x} + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 9 x + 6 e^{x} + K$