Kalkulus Contoh

$(x - 2 y + 5) d x - (2 (x - 2 y) + 9) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - 2 y + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y + 5]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2 y + 5$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Langkah 1.4

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Langkah 1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 (x - 2 y) + 9)]$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + 2 (- 2 y) + 9)]$

Langkah 2.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x - 4 y + 9)]$

Langkah 2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (2 x - 4 y + 9)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x - 4 y + 9]$

Langkah 2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 4 y + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.8

Karena $- 4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.9

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.10

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Langkah 2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Langkah 2.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 = - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 (x - 2 y) + 9) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - (2 (x - 2 y) + 9)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int 2 (x - 2 y) + 9 d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int 2 (x - 2 y) d y + \int 9 d y)$

Langkah 5.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (2 \int x - 2 y d y + \int 9 d y)$

Langkah 5.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (2 (\int x d y + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (2 (x y + C + \int - 2 y d y) + \int 9 d y)$

Langkah 5.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 \int y d y) + \int 9 d y)$

Langkah 5.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + \int 9 d y)$

Langkah 5.8

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)) + 9 y + C)$

Langkah 5.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 (x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)) + 9 y + C)$

Langkah 5.10

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y + 5$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (2 x y - 2 y^{2} + 9 y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y - 2 y^{2} + 9 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - 2 y^{2} + 9 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.3

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.5

Karena $- 2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [9 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.6

Karena $9 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- (2 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.9

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.3.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y + 5$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y + 5$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 5 + 2 y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - 2 y + 5 + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 5$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 5$

Langkah 10

Temukan $x + 5$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x + 5$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 5 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 5 d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x d x + \int 5 d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 5 d x$

Langkah 10.5

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 5 x + C$

Langkah 10.6

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y - 2 y^{2} + 9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - (2 x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - (- 2 y^{2}) - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 12.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - (9 y) + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 12.2.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) + 2 y^{2} - 9 y + \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y + 2 y^{2} - 9 y + \frac{x^{2}}{2} + 5 x + C$