Kalkulus Contoh

$x + 2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ dengan $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - x$ dengan $2 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Kalikan $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ dengan $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}})$

Langkah 1.1.2.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.3.1

Kalikan $\frac{x}{2 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ dengan $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Langkah 1.1.2.3.3.2

Pindahkan $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Langkah 1.1.2.3.3.3

Naikkan $\sqrt{x^{2} + 1}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Langkah 1.1.2.3.3.4

Naikkan $\sqrt{x^{2} + 1}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Langkah 1.1.2.3.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Langkah 1.1.2.3.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.3.7

Tulis kembali ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ sebagai $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.3.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 1}$ sebagai ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.3.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.3.3.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.1.2.3.3.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.3.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 1.1.2.3.3.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Langkah 1.1.2.3.3.7.5

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 y (x^{2} + 1)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4.2

Gabungkan.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1) y}$

Langkah 1.4.3.2

Faktorkan $y$ dari $2 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Langkah 1.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (2 (x^{2} + 1))}$

Langkah 1.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{2 (x^{2} + 1)}$

Langkah 1.4.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{2 (x^{2} + 1)} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 2.3.3

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.3.3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.3.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.3.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $\frac{\sqrt{u}}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Langkah 2.3.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Langkah 2.3.6.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Langkah 2.3.6.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Langkah 2.3.6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.3.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.6.3.2

Kalikan $u$ dengan $u^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.3.2.1

Kalikan $u$ dengan $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.3.2.1.1

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.6.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.6.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.6.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.6.3.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.6.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.4.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.6.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.6.4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Tulis kembali $- \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$