Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

Langkah 1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

Langkah 1.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- 1 y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

Langkah 1.2.4

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{- y + 2}$ .

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $- y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = - y + 2$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = - y + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y + 2$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $\ln (| - y + 2 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.4

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.5

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

Langkah 3.1.3.1.6

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ .

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Untuk menuliskan $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{- 2}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $1$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.3.1

Kalikan $\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.3

Kalikan $\frac{- 2}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.5.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.2

Tulis kembali $- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ sebagai $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

Langkah 3.4.4.3.6

Bagilah $- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ dengan $1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- x^{2} + x + C}$ sebagai $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- x^{2} + x}$ dan $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$