Kalkulus Contoh

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ .

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ ke dalam pembilangnya.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $\cos^{2} (y)$ dari $- \cos^{2} (y)$ .

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.2

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (y)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.6

Biarkan $u_{1} = 2 y$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Biarkan $u_{1} = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 4.2.6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 4.2.6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.2.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.7

Gabungkan $\cos (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.9

Integral dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sin (u_{1})$ .

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.10

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.11

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 y$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 y)$ .

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.12.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.12.3

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.12.4

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.12.4.1

Kalikan $\frac{\sin (2 y)}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.12.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.2.13

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 6 x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 6 d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 6 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 + 0$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$6$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $6 x + 1$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$