Kalkulus Contoh

$(1 + x^{2}) d y - x y d x = 0$

Langkah 1

Tambahkan $x y d x$ ke kedua sisi persamaan.

$(1 + x^{2}) d y = x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} x d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 4.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $\ln (| y |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $\ln (| y |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}) = C$

Langkah 5.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y^{2}}{| 1 + x^{2} |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2

Sederhanakan.

$\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln (\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Langkah 5.9.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{C} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = C {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$