Kalkulus Contoh

$(x y^{2} + x - 2 y + 3) d x + (x^{2} y - 2 x - 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y^{2} + x - 2 y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x - 2 y + 3]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + x - 2 y + 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.5.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 1.6

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + 0$

Langkah 1.7

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tambahkan $2 x y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2 + 0$

Langkah 1.7.2

Tambahkan $2 x y - 2$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y - 2 x - 2 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y - 2 x - 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.5

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $2 y x - 2$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x y - 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x y - 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y - 2 x - 2 y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Langkah 5.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Langkah 5.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 \int y d y$

Langkah 5.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)$

Langkah 5.9

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Langkah 5.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Langkah 5.10.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Langkah 5.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 5.10.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 5.10.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Langkah 5.10.2.2.4

Bagilah $- y^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Langkah 5.11

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{2 y^{2}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.3.7.2

Bagilah $y^{2} x$ dengan $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{2} x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.5

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $y^{2} x - 2 y$ dan $0$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x y^{2}$ dan $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $y^{2} x$ dengan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $x - 2 y + 3$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 2 y$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 3$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 3$

Langkah 10

Temukan $x + 3$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 3 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 3 d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x d x + \int 3 d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 3 d x$

Langkah 10.5

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C$

Langkah 10.6

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C$