Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = x y^{2}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- 1}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kalikan $v$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{v^{2}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- 1}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ dengan $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.1.2

Faktorkan $v^{2}$ dari $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.5

Kalikan $v^{- 1}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.5.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.5.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.6

Sederhanakan $- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.2.1.7

Gabungkan $v$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Langkah 6.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Langkah 6.1.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Langkah 6.1.1.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{- 2} v^{2}$

Langkah 6.1.1.3.3

Kalikan $v^{- 2}$ dengan $v^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Pindahkan $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x (v^{2} v^{- 2})$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{2 - 2}$

Langkah 6.1.1.3.3.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x v^{0}$

Langkah 6.1.1.3.4

Sederhanakan $- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - x$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $v$ dari $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - x$

Langkah 6.1.3

Susun kembali $v$ dan $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - x$

Langkah 6.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.2.2

Integralkan $- \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 6.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 6.2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 6.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 6.2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.4.1

Kalikan $\frac{v}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- x)$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x} x$

Langkah 6.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x$

Langkah 6.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x} x$

Langkah 6.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - 1$

Langkah 6.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - 1$

Langkah 6.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - 1 d x$

Langkah 6.6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} v = \int - 1 d x$

Langkah 6.7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{x} v = - x + C$

Langkah 6.8

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{v}{x} = - x + C$

Langkah 6.8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- x + C) x$

Langkah 6.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v}{x} x = (- x + C) x$

Langkah 6.8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = (- x + C) x$

Langkah 6.8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.1

Sederhanakan $(- x + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$v = - x \cdot x + C x$

Langkah 6.8.3.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.3.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$v = - (x \cdot x) + C x$

Langkah 6.8.3.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$v = - x^{2} + C x$

Langkah 6.8.3.2.1.3

Susun kembali $- x^{2}$ dan $C x$ .

$v = C x - x^{2}$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 1}$ untuk $v$ .

$y^{- 1} = C x - x^{2}$