Kalkulus Contoh

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $y (8 x - 9 y) d x$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x - 9 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.2

Karena $8 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $8 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.4

Karena $- 9$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 9 y$ terhadap $y$ adalah $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.6.2

Pindahkan $- 9$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Kalikan $8 x - 9 y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Langkah 2.3.8.2

Kurangi $9 y$ dengan $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Langkah 3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x (x - 3 y)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.3

Karena $- 3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.4.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Kalikan $x - 3 y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Langkah 3.4.6.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Langkah 3.5.2.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $8 x - 18 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x - 6 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $8 x - 18 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $4 x - 6 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $2 x (x - 3 y)$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $2 x (x - 3 y)$ untuk $N$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.5

Tulis kembali $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ sebagai $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.6

Faktorkan $2$ dari $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.2.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Langkah 5.3.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Langkah 5.3.2.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $- 4 x$ dan $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.2

Kurangi $3 y$ dengan $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 2 x + 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Faktorkan $2$ dari $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- x + 3 y$ dan $x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.4.2

Faktorkan $- 1$ dari $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.4.4

Tulis kembali $- (x - 3 y)$ sebagai $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Langkah 5.3.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Langkah 5.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Langkah 6.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Langkah 6.4.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ dengan faktor integral $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y (8 x - 9 y)$ dengan $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.6

Terapkan sifat distributif.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.7

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.7.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.7.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.8

Kalikan $2 x (x - 3 y)$ dengan $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Langkah 7.9

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.9.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Langkah 7.10

Terapkan sifat distributif.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Langkah 7.11

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Pindahkan $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Langkah 7.11.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Langkah 7.11.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Langkah 7.11.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Langkah 7.12

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Langkah 7.13

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Langkah 9.2

Karena $8 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Langkah 9.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Langkah 9.4

Karena $- 9 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 9 y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Langkah 9.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 9.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 9.7.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Langkah 9.7.4

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Langkah 9.7.5

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Langkah 9.7.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.6.1

Faktorkan $3$ dari $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Langkah 9.7.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Langkah 9.7.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Langkah 9.7.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Langkah 9.7.6.2.4

Bagilah $y^{2} (- 3 x^{3})$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $2 x^{4}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y x^{4}$ terhadap $y$ adalah $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Karena $- 3 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} (- 3 x^{3})$ terhadap $y$ adalah $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 12.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $2 x^{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Langkah 13.1.2

Tambahkan $6 x^{3} y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Langkah 13.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Kurangi $2 x^{4}$ dengan $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Langkah 13.1.3.2

Tambahkan $- 6 x^{3} y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Langkah 13.1.3.3

Tambahkan $- 6 x^{3} y$ dan $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 14

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 14.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 14.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Langkah 16

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$