Kalkulus Contoh

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $e^{- y^{2}}$ dari $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Langkah 1.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ dan $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- y^{2}}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2.2

Kalikan $- y^{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.1.2.2.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = y^{2}$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{y^{2}})$ dengan memindahkan $y^{2}$ ke luar logaritma.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Langkah 3.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Langkah 3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Langkah 3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Langkah 3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$