Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x \sin (x)$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x \sin (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x \sin (x))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x \sin (x))$

Langkah 3.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x \sin (x)$

Langkah 3.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Langkah 7.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Langkah 7.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Langkah 7.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Langkah 7.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Langkah 7.6

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Langkah 7.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Tulis kembali $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ sebagai $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Langkah 7.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Langkah 7.7.2.2

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} \cos (x)$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x^{1}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- x \cos (x)}{1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.5

Bagilah $- x \cos (x)$ dengan $1$ .

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x}$

Langkah 8.3.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.3

Untuk menuliskan $- x \cos (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = - x \cos (x) \cdot \frac{x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.4

Gabungkan $- x \cos (x)$ dan $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{- x \cos (x) x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- x \cos (x) x + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Pindahkan $x$ .

$y = \frac{- (x \cdot x) \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2} \cos (x)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

Langkah 8.3.10

Faktorkan $- 1$ dari $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x}$

Langkah 8.3.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x}$

Langkah 8.3.12

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x}$

Langkah 8.3.13

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

Langkah 8.3.14

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.14.1

Tulis kembali $- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ sebagai $- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

Langkah 8.3.14.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x}$