Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 6 e^{x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (6 e^{x})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (6 e^{x})$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{2 x} e^{x}$

Langkah 2.4

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 (e^{x} e^{2 x})$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{x + 2 x}$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $x$ dan $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{3 x}$

Langkah 2.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 6 e^{3 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 6 e^{3 x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 6 e^{3 x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 6 e^{3 x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 x} y = \int 6 e^{3 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$e^{2 x} y = 6 \int e^{3 x} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 6.2.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 6.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} y = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $6$ .

$e^{2 x} y = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 x} y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 x} y = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$e^{2 x} y = 2 \int e^{u} d u$

Langkah 6.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 2 (e^{u} + C)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$e^{2 x} y = 2 e^{u} + C$

Langkah 6.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$ dengan $e^{2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 x} y = 2 e^{3 x} + C$ dengan $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 e^{3 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ dan $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $2 e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{2 x} (2 e^{x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2 e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 7.3.1.2.4

Bagilah $2 e^{x}$ dengan $1$ .

$y = 2 e^{x} + \frac{C}{e^{2 x}}$