Kalkulus Contoh

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(1 + \ln (y)) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $1 + \ln (y)$ dari $x (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = \ln (y)$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ sehingga $y d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = \ln (y)$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Langkah 4.2.1.1.2

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Langkah 4.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 4.2.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 4.2.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.2.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

Langkah 5.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

Langkah 5.4

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

Langkah 5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

Langkah 5.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| x + \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

Langkah 5.6

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

Langkah 5.7

Tulis kembali $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

Langkah 5.8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

Langkah 5.8.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

Langkah 5.8.2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

Langkah 5.8.2.3

Bagi setiap suku pada $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.3.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ dengan $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 5.8.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 5.8.2.3.2.1.2

Bagilah $\ln (y)$ dengan $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 5.8.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Langkah 5.8.2.3.3.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Langkah 5.8.2.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Langkah 5.8.2.5

Tulis kembali $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

Langkah 5.8.2.6

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$