Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d x} + 10 y = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $10 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ dengan $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 10 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (1)}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 5 y}{1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.4

Bagilah $- 5 y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} - 5 y$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{1}{2} - 5 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = \frac{1}{2} - 5 y$ . Kemudian $d u = - 5 d y$ sehingga $- \frac{1}{5} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = \frac{1}{2} - 5 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $\frac{1}{2} - 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} - 5 y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} - 5 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

Langkah 2.2.1.1.2.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 5 y$ terhadap $y$ adalah $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$0 - 5$

Langkah 2.2.1.1.4

Kurangi $5$ dengan $0$ .

$- 5$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{5}) d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 5} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int - \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{2} - 5 y$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 5$ .

$- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)) = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ dan $\frac{1}{5}$ .

$- 5 (- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}) = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}$ ke dalam pembilangnya.

$- 5 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Faktorkan $5$ dari $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \cdot - 1 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)} = e^{- 5 x - 5 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 5 x - 5 C} = | \frac{1}{2} - 5 y |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$ .

$| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$\frac{1}{2} - 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C}$

Langkah 3.5.3

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C} - \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Untuk menuliskan $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 5 y = (\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.4.2

Gabungkan $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$

Langkah 3.5.5

Bagi setiap suku pada $- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ dengan $- 5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.1

Bagilah setiap suku di $- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ dengan $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Langkah 3.5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Langkah 3.5.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Langkah 3.5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

Langkah 3.5.5.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ .

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

Langkah 3.5.5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$

Langkah 3.5.5.3.4

Kalikan $\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.5.3.4.1

Kalikan $\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2 \cdot 5}$

Langkah 3.5.5.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{10}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x + C}) - 1}{10}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- 5 x + C}$ sebagai $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x} e^{C}) - 1}{10}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- 5 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{C} e^{- 5 x}) - 1}{10}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - \frac{2 (C e^{- 5 x}) - 1}{10}$