Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 7.3

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Langkah 7.5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 7.6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 7.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Langkah 7.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Langkah 7.9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Langkah 7.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Tulis kembali $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.10.2.2

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Langkah 7.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 7.12

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.6.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.8

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Langkah 8.3.1.9

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Langkah 8.3.1.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Langkah 8.3.1.10.2

Faktorkan $2$ dari $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Langkah 8.3.1.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Langkah 8.3.1.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

Langkah 8.3.1.11

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

Langkah 8.3.1.12

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{2}$ dan $\cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

Langkah 8.4

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Langkah 8.4.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Langkah 8.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.2.1

Sederhanakan $(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.2.1.2.1

Kalikan $- \frac{x}{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.2.1.2.1.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{x}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.1.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.2.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.2.3

Gabungkan $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ dan $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

Langkah 8.4.2.2.1.4

Pindahkan $\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

Langkah 8.4.2.2.1.5

Pindahkan $x^{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$