Kalkulus Contoh

$(21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y) d x + (28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [21 x^{2} y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $21 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $21 x^{2} y^{4}$ terhadap $y$ adalah $21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 21 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $21$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 8 x^{3} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 8 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 8 x^{3} y$ terhadap $y$ adalah $- 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3} \cdot 1$

Langkah 1.4.3

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 84 x^{2} y^{3} - 8 x^{3}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [28 x^{3} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $28 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $28 x^{3} y^{3}$ terhadap $x$ adalah $28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 28 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $28$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 2 (4 x^{3})$

Langkah 2.4.3

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 84 y^{3} x^{2} - 8 x^{3}$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2} = - 8 x^{3} + 84 y^{3} x^{2}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 21 x^{2} y^{4} - 8 x^{3} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 21 x^{2} y^{4} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Langkah 5.2

Karena $21 y^{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $21 y^{4}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 21 y^{4} \int x^{2} d x + \int - 8 x^{3} y d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 x^{3} y d x$

Langkah 5.4

Karena $- 8 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y \int x^{3} d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 21 y^{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = 21 \cdot \frac{1}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $21$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{21}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $21$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $21$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{7}{1} y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7.2.2.4

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Langkah 5.7.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 8 y \frac{x^{4}}{4} + C$

Langkah 5.7.4

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y \frac{- 8 x^{4}}{4} + C$

Langkah 5.7.5

Gabungkan $y$ dan $\frac{- 8 x^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 8 x^{4})}{4} + C$

Langkah 5.7.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.6.1

Faktorkan $4$ dari $y (- 8 x^{4})$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4} + C$

Langkah 5.7.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.6.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 (1)} + C$

Langkah 5.7.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{4 (y (- 2 x^{4}))}{4 \cdot 1} + C$

Langkah 5.7.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + \frac{y (- 2 x^{4})}{1} + C$

Langkah 5.7.6.2.4

Bagilah $y (- 2 x^{4})$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [7 y^{4} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $7 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $7 y^{4} x^{3}$ terhadap $y$ adalah $7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$7 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$7 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $4$ dengan $7$ .

$28 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y (- 2 x^{4})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- 2 x^{4}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y (- 2 x^{4})$ terhadap $y$ adalah $- 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + \frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{4} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 x^{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} + 28 x^{3} y^{3} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $28 x^{3} y^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $28 x^{3} y^{3} - 2 x^{4} + 2 x^{4} - 28 x^{3} y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- 2 x^{4}$ dan $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} + 0 - 28 x^{3} y^{3}$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $28 x^{3} y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 28 x^{3} y^{3} - 28 x^{3} y^{3}$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $28 x^{3} y^{3}$ dengan $28 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} + y (- 2 x^{4}) + C$

Langkah 12

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = 7 y^{4} x^{3} - 2 y x^{4} + C$