Kalkulus Contoh

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

Langkah 1

Tambahkan $3 y d x$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x d y = 3 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.3

Sederhanakan $- 3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x |}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

Langkah 5.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

Langkah 5.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

Langkah 5.5.4.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Tulis kembali $e^{C} {| x |}^{3}$ sebagai ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.1

Faktorkan ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

Langkah 5.5.4.2.1.2

Susun kembali $e^{C}$ dan ${| x |}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

Langkah 5.5.4.2.1.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

Langkah 5.5.4.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Langkah 5.5.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Langkah 5.5.4.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Langkah 5.5.4.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

$y = - | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = | x | \sqrt{C | x |}$

$y = - | x | \sqrt{C | x |}$