Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 7 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 7 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $6$ untuk $x$ dan $19$ untuk $y$ padda $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kurangi $6$ dengan $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Langkah 4.2.1.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Langkah 4.2.1.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Langkah 4.2.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$C = 19$

Langkah 5

Substitusikan $19$ untuk $C$ dalam $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $19$ untuk $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Langkah 5.2

Kalikan $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali $\ln (| 7 - x |)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$