Kalkulus Contoh

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{x}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d x}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d x}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

Langkah 1.1.1.2

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

Langkah 1.1.1.3

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ dengan $- y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ dengan $- y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Bagilah $\frac{d x}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.4

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ sebagai ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{x}{y}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{x}{y}$ untuk $x$ .

$x = V y$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $x = V y$ terhadap $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Langkah 5

Substitusikan $y \frac{d V}{d y} + V$ untuk $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $V^{2} + V + 1 - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

Langkah 6.1.1.1.2.2

Tambahkan $V^{2}$ dan $0$ .

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ dengan $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 6.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Langkah 6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

Langkah 6.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Susun kembali $V^{2}$ dan $1$ .

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ terhadap $V$ adalah $\arctan (V) + C_{1}$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

Langkah 6.3

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $V$ dari dalam arctangen.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{x}{y}$ untuk $V$ .

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\tan (\ln (| y |) + C) y$ .

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$