Kalkulus Contoh

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(1 + x^{2}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 + x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Langkah 1.6

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.8

Susun kembali $1$ dan $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.9

Hilangkan tanda kurung.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Langkah 1.10

Pindahkan $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Langkah 5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 5.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 5.4.2.3.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ dengan $1 + x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$