Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x^{3} y = 4 x^{3}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $2 x^{3} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 2 x^{3} y$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 2 x^{3} y$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 2 x^{3} y$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{4 x^{3}}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $4 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{1} + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.4

Bagilah $4 x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{- 2 x^{3} y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 2 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{x^{2} (- 2 x y)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{x^{2} (- 2 x y)}{x^{2} \cdot 1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{x^{2} (- 2 x y)}{x^{2} \cdot 1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{- 2 x y}{1}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2.4

Bagilah $- 2 x y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 2 x y$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $2 x$ dari $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (2) - 2 x y$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (2) + 2 x (- 1 y)$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (2) + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (2 - 1 y)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (2 - y)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} (2 x (2 - y))$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{2 - y} (x (2 - y))$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 - y} (x (2 - y))$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $2 - y$ dari $x (2 - y)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 - y} ((2 - y) x)$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 - y} ((2 - y) x)$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 - y} d y = 2 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 2 - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 2 - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 2 - y |) = x^{2} + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 2 - y |) = x^{2} + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $\ln (| 2 - y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - x^{2} - 1 \cdot C$

Langkah 3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 2 - y |) = - x^{2} - C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{- x^{2} - C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 2 - y |) = - x^{2} - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - C} = | 2 - y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 - y | = e^{- x^{2} - C}$ .

$| 2 - y | = e^{- x^{2} - C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{- x^{2} - C}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 2$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C})$ sebagai $- (\pm e^{- x^{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + 2$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + C}) + 2$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- x^{2} + C}$ sebagai $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 2$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 2$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - (C e^{- x^{2}}) + 2$