Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

Langkah 2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{3}$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Langkah 6.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Langkah 6.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Langkah 6.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Langkah 6.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Langkah 6.7

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Langkah 6.8

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Langkah 6.9

Tulis kembali $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ sebagai $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x^{2} e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- 2 x e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $2 e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2.4

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2.5

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.3.2

Bagilah $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ dengan $1$ .

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.5.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$