Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 1)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 1)$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (4 x + 1)$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d w}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (4 x + 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{4 x + 1}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{4 x + 1}{x^{2}})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{w}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{4 x + 1}{x^{2}})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{4 x + 1}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{w}$ sebagai $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan $w^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $w^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $w$ adalah $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{4 x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (4 x + 1) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.2

Kalikan $(4 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Pindahkan $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.1.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.1.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 4 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 4 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 2.3.9

Susun kembali suku-suku.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $w$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ dengan $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $w^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (2 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3.2.4

Bagilah $2 \ln (| x |)$ dengan $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 2 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.4

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{2}) + C)}^{2}$