Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.6

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 24$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Langkah 2.3.8

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Langkah 2.3.9.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Langkah 2.3.9.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Langkah 2.3.9.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $3$ untuk $x$ dan $- 6$ untuk $y$ padda $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Langkah 4.2

Sederhanakan $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Langkah 4.2.1.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $- 12$ dengan $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Langkah 4.2.1.6

Kalikan $8$ dengan $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $27$ dengan $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $108$ dengan $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 54$ dan $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $30$ ke kedua sisi persamaan.

$K = - 6 + 30$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $- 6$ dan $30$ .

$K = 24$

Langkah 5

Substitusikan $24$ untuk $K$ dalam $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $24$ untuk $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$