Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

Langkah 2.3.4

Biarkan $u = t - 3$ . Kemudian $d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Biarkan $u = t - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Diferensialkan $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Langkah 2.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 3$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 2.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 2.3.4.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $3$ untuk $t$ dan $4$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

Langkah 4.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $9$ .

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Langkah 4.2.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

Langkah 4.2.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

Langkah 4.2.6.2

Tambahkan $9$ dan $4$ .

$\frac{13}{2} + K = 4$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{13}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 4 - \frac{13}{2}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$K = \frac{8 - 13}{2}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $13$ dengan $8$ .

$K = \frac{- 5}{2}$

Langkah 4.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{5}{2}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{5}{2}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{5}{2}$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $2 e^{t - 3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Langkah 5.4

Gabungkan $2 e^{t - 3}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Langkah 5.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$