Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

Langkah 1

Kurangkan $5 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 5 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 5 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 5 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 7.3

Karena $- \frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Langkah 7.5

Biarkan $u = - 5 x$ . Kemudian $d u = - 5 d x$ sehingga $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = - 5 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Langkah 7.6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Langkah 7.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Langkah 7.8

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Langkah 7.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Langkah 7.9.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Langkah 7.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Langkah 7.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Tulis kembali $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 7.11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 7.11.2.2

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 7.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 7.13

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Langkah 7.14

Susun kembali suku-suku.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 8.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ dengan $e^{- 5 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ dengan $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ dengan $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.5

Kalikan $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ dengan $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 8.2.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ .

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ .

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Langkah 10.2

Sederhanakan $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Langkah 10.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Langkah 10.2.2.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

Langkah 10.2.2.3

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

Langkah 10.2.3

Kurangi $\frac{1}{25}$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tambahkan $\frac{1}{25}$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

Langkah 10.3.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

Langkah 10.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

Langkah 10.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

Langkah 10.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.5.1

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

Langkah 10.3.5.2

Tambahkan $75$ dan $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

Langkah 11

Substitusikan $\frac{76}{25}$ untuk $C$ dalam $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $\frac{76}{25}$ untuk $C$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

Langkah 11.2.2

Gabungkan.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

Langkah 11.2.3

Kalikan $76$ dengan $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$