Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Sederhanakan.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.5.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 2.2.6

Susun kembali suku-suku.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Langkah 3.1.2

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Langkah 3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 1$ , dan $c = - x^{2} - K$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Langkah 3.5

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$