Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 8 x$ ; , $y (3) = 11$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (6 x^{2} + 8 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + 8 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Langkah 2.3.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 8 x d x$

Langkah 2.3.4

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 \int x d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{8}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{4}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 4 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $3$ untuk $x$ dan $11$ untuk $y$ padda $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ .

$11 = 2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$ .

$2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

Langkah 4.2

Sederhanakan $2 \cdot 3^{3} + 4 \cdot 3^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 27 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $27$ .

$54 + 4 \cdot 3^{2} + K = 11$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$54 + 4 \cdot 9 + K = 11$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$54 + 36 + K = 11$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $54$ dan $36$ .

$90 + K = 11$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $90$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 11 - 90$

Langkah 4.3.2

Kurangi $90$ dengan $11$ .

$K = - 79$

Langkah 5

Substitusikan $- 79$ untuk $K$ dalam $y = 2 x^{3} + 4 x^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 79$ untuk $K$ .

$y = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 79$