Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $2 y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

Langkah 1.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Langkah 1.5.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Langkah 1.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Langkah 1.5.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

Langkah 1.5.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Langkah 7.4

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 7.4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 7.5

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 7.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 7.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 7.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 7.9

Tulis kembali $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 7.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ dengan $e^{2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ dengan $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $\frac{1}{2} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $- \frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.2

Kurangi $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Susun kembali $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.2.2

Untuk menuliskan $x \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $x \frac{1}{2}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.4

Untuk menuliskan $\frac{2 x - 1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 8.3.5

Untuk menuliskan $\frac{C}{e^{2 x}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 8.3.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4 e^{2 x}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Kalikan $\frac{2 x - 1}{4}$ dengan $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 8.3.6.2

Kalikan $\frac{C}{e^{2 x}}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Langkah 8.3.6.3

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Langkah 8.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Langkah 8.3.8.2

Tulis kembali $- 1 e^{2 x}$ sebagai $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Langkah 8.3.8.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$