Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $r^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $r^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $r^{- 2}$ terhadap $r$ adalah $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- r^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{θ}$ terhadap $θ$ adalah $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$r, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$r$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ dengan $r$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ dengan $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{r}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $r$ dari $r \ln (| θ |) + C r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $r$ dari $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $r$ dari $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ dengan $\ln (| θ |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ dengan $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (| θ |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Bagilah $r$ dengan $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $θ$ dan $2$ untuk $r$ padda $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Langkah 5

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Langkah 5.2

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Langkah 5.2.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Langkah 5.2.3

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$C, 1$

Langkah 5.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$C$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{C} = 2$ dengan $C$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{C} = 2$ dengan $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{C}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Langkah 5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Langkah 5.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = 2 C$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $2 C = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $2 C = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = - \frac{1}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $C$ dalam $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $C$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Untuk menuliskan $\ln (| θ |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $\ln (| θ |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Kalikan $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1.1

Susun kembali $\ln (| θ |)$ dan $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Langkah 6.2.4.1.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (| θ |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Langkah 6.2.4.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| θ |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ dengan $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$