Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - x e^{y} = 2 e^{y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $x e^{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{y} + x e^{y}$

Langkah 1.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $2 e^{y} + x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $e^{y}$ dari $2 e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + x e^{y}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $x e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (2 + x)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 2 + x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (2 + x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{- y}$ dengan $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- e^{u} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 d x + \int x d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ dengan $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $e^{- y}$ dengan $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ sebagai $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.5

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 x)$ sebagai $- (2 x)$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{K}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.7

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 1 \cdot K$

Langkah 3.1.3.1.8

Tulis kembali $- 1 \cdot K$ sebagai $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K$

Langkah 3.2

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Langkah 3.3

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $\ln (e^{- y})$ dengan memindahkan $- y$ ke luar logaritma.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Langkah 3.3.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Langkah 3.4.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ sebagai $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$