Kalkulus Contoh

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.2

Karena $8$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.4

Karena turunan dari $- \cot (t)$ adalah $\csc^{2} (t)$ , maka integral dari $\csc^{2} (t)$ adalah $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $\frac{π}{2}$ untuk $t$ dan $- 7$ untuk $v$ padda $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ .

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ .

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{π}{2}$ .

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Langkah 4.2.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Langkah 4.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Langkah 4.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Langkah 4.2.1.1.4

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

Langkah 4.2.1.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $π^{2}$ dan $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

Langkah 4.3

Kurangkan $π^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 7 - π^{2}$

Langkah 5

Substitusikan $- 7 - π^{2}$ untuk $K$ dalam $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 7 - π^{2}$ untuk $K$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$