Kalkulus Contoh

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x^{2} \sin (x) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Langkah 4.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Langkah 4.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Langkah 4.3.4.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Tulis kembali $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ sebagai $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $- (- x \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Langkah 5.2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Langkah 5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Langkah 5.4

Faktorkan $2$ dari $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Langkah 5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Langkah 5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Langkah 5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$