Kalkulus Contoh

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 3 t^{2} - 1$ . Kemudian $d u = 6 t d t$ sehingga $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 3 t^{2} - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t^{2} - 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$6 t + 0$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Tambahkan $6 t$ dan $0$ .

$6 t$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $u^{3}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $14$ untuk $s$ padda $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ .

$14 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 14$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 14$

Langkah 4.2.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Langkah 4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Langkah 4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{3} + K = 14$

Langkah 4.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 + K = 14$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 14 - 8$

Langkah 4.3.2

Kurangi $8$ dengan $14$ .

$K = 6$

Langkah 5

Substitusikan $6$ untuk $K$ dalam $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $6$ untuk $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 6$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.7

Kalikan $27$ dengan $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $108$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.10

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.11

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.11.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.12

Kalikan $9$ dengan $6$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.13

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.14

Kalikan $54$ dengan $1$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.15

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.16

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.17

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Langkah 5.2.2.18

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 6$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kalikan $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Gabungkan $81$ dan $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.1.2

Gabungkan $\frac{81}{2}$ dan $t^{8}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 108 t^{6}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $54 t^{4}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 12 t^{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Langkah 5.2.4.5

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 5.4

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 12}{2}$

Langkah 5.6.2

Tambahkan $1$ dan $12$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{13}{2}$