Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x + 3$

Langkah 1

Integralkan kedua sisi terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan pertama sama dengan integral dari turunan kedua terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x + 3 d x$

Langkah 1.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x d x + \int 3 d x$

Langkah 1.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x d x + \int 3 d x$

Langkah 1.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + \int 3 d x$

Langkah 1.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

Langkah 1.6.2

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 3 x + C_{3}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (2 x^{2} + 3 x + C_{3}) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Langkah 3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{4} = 2 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Langkah 3.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 \int x d x + \int C_{3} d x$

Langkah 3.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int C_{3} d x$

Langkah 3.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Langkah 3.3.7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Langkah 3.3.7.2

Sederhanakan.

$y + C_{4} = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Langkah 3.3.7.3

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{4} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C x + D$