Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $- 1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ .

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $5$ dengan $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

Langkah 4.3

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 10$

Langkah 5

Substitusikan $10$ untuk $K$ dalam $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $10$ untuk $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$