Kalkulus Contoh

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan

$\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana

$M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan

$M$ terhadap

$y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

Langkah 1.2

Karena

$e^{2 x}$ konstan terhadap

$y$ , turunan dari

$e^{2 x} y^{2}$ terhadap

$y$ adalah

$e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah

$n y^{n - 1}$ di mana

$n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

Langkah 1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$e^{2 x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

Langkah 1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam

$2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

Langkah 2

Temukan

$\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana

$N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan

$N$ terhadap

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$e^{2 x} y - 2 y$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena

$y$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$e^{2 x} y$ terhadap

$x$ adalah

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = e^{x}$ dan

$g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah

$a^{u} \ln (a)$ di mana

$a$ =

$e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.3

Karena

$2$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$2 x$ terhadap

$x$ adalah

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.5

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.6

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.7

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.4

Karena

$- 2 y$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- 2 y$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan

$2 y e^{2 x}$ dan

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari

$2 y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

Langkah 2.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam

$2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Langkah 3

Periksa bahwa

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan

$2 y e^{2 x}$ ke

$\frac{\partial M}{\partial y}$ dan

$2 y e^{2 x}$ ke

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur

$f (x, y)$ agar sama dengan integral

$N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

Langkah 5

Integralkan

$N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ untuk menemukan

$f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

Langkah 5.2

Karena

$e^{2 x}$ konstan terhadap

$y$ , pindahkan

$e^{2 x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$y$ terhadap

$y$ adalah

$\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

Langkah 5.4

Karena

$- 2$ konstan terhadap

$y$ , pindahkan

$- 2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari

$y$ terhadap

$y$ adalah

$\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 5.7.2

Gabungkan

$\frac{e^{2 x}}{2}$ dan

$y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 5.7.3

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.4

Gabungkan

$- 2$ dan

$\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Langkah 5.7.5

Hapus faktor persekutuan dari

$- 2$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.5.1

Faktorkan

$2$ dari

$- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Langkah 5.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.5.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 5.7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 5.7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Langkah 5.7.5.2.4

Bagilah

$- y^{2}$ dengan

$1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Langkah 5.8

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral

$g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti

$C$ dengan

$g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8

Temukan

$\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan

$f$ terhadap

$x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan

$\frac{e^{2 x}}{2}$ dan

$y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.3

Karena

$\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = e^{x}$ dan

$g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah

$a^{u} \ln (a)$ di mana

$a$ =

$e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.4.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.5

Karena

$2$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$2 x$ terhadap

$x$ adalah

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.7

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.8

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.9

Gabungkan

$2$ dan

$\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.10

Gabungkan

$\frac{2 y^{2}}{2}$ dan

$e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.11

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.3.11.2

Bagilah

$y^{2} e^{2 x}$ dengan

$1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.4

Karena

$- y^{2}$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$- y^{2}$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan

$g (x)$ adalah

$\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan

$y^{2} e^{2 x}$ dan

$0$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 8.6.3

Susun kembali faktor-faktor dalam

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan

$\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan

$\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam

$e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung

$\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangkan

$y^{2} e^{2 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Langkah 9.1.2.2

Kurangi

$y^{2} e^{2 x}$ dengan

$y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 10

Temukan

$0$ untuk menemukan

$g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi

$\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi

$\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 10.3

Integral dari

$0$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan

$0$ dan

$C$ .

$g (x) = C$

Langkah 11

Substitusikan

$g (x)$ dalam

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan

$\frac{e^{2 x}}{2}$ dan

$y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$