Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Susun kembali $y^{2}$ dan $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Langkah 3

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $y$ dari dalam arctangen.

$y = \tan (x + K)$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \tan (x + K)$ .

$0 = \tan (1 + K)$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\tan (1 + K) = 0$ .

$\tan (1 + K) = 0$

Langkah 5.2

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $K$ dari dalam tangen.

$1 + K = \arctan (0)$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$1 + K = 0$

Langkah 5.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 1$

Langkah 5.5

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$1 + K = π + 0$

Langkah 5.6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$1 + K = π$

Langkah 5.6.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = π - 1$

Langkah 5.7

Tentukan periode dari $\tan (1 + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 5.7.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 5.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 5.7.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 5.8

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Tambahkan $π$ ke $- 1$ untuk menentukan sudut positif.

$- 1 + π$

Langkah 5.8.2

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$K = - 1 + π$

Langkah 5.9

Periode dari fungsi $\tan (1 + K)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5.10

Gabungkan $- 1 + π + π n$ dan $π - 1 + π + π n$ menjadi $- 1 + π + π n$ .

$K = - 1 + π + π n$

Langkah 6

Substitusikan $- 1 + π + π n$ untuk $K$ dalam $y = \tan (x + K)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $- 1 + π + π n$ untuk $K$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$