Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Asumsikan $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Langkah 1.2

Gabungkan $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ dan $\sqrt{x^{2}}$ ke dalam akar tunggal.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.3

Pisahkan $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan pecahan $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Langkah 6.1.1.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Langkah 6.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Langkah 6.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Perluas $(1 + V) (1 - V)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Langkah 6.2.2.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Langkah 6.2.2.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.2

Kalikan $- V$ dengan $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.3

Kalikan $V$ dengan $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 - V + V - V \cdot V$

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.5

Kalikan $V$ dengan $V$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Pindahkan $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Langkah 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Kalikan $V$ dengan $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Langkah 6.2.2.1.1.2.2

Tambahkan $- V$ dan $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Langkah 6.2.2.1.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1 - V^{2}$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Susun kembali $1$ dan $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Langkah 6.2.2.1.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Langkah 6.2.2.1.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 6.2.2.1.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.2.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.2.1.4.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Langkah 6.2.2.1.4.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot 0$ sebagai $- 0$ .

$d = - 0$

Langkah 6.2.2.1.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$d = 0$

Langkah 6.2.2.1.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.2.1.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.2.1.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Langkah 6.2.2.1.5.2.1.3

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Langkah 6.2.2.1.5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e = 1 + 0$

Langkah 6.2.2.1.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e = 1$

Langkah 6.2.2.1.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Biarkan $u = V + 0$ . Kemudian $d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Biarkan $u = V + 0$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Diferensialkan $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $V + 0$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Langkah 6.2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Langkah 6.2.2.2.1.4

Karena $0$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $0$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.2.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3.2

Susun kembali $- u^{2}$ dan $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ terhadap $u$ adalah $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Tambahkan $V$ dan $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Ambil balikan arcsinus dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $V$ dari dalam arcsinus.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$