Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 1 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.3.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Langkah 2.3.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ .

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $C y$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- 1 \ln (| 1 - x |)$ sebagai $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Langkah 3.3.4

Bagi setiap suku pada $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ dengan $- \ln (| 1 - x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ dengan $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Langkah 3.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Langkah 3.3.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Langkah 3.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Langkah 3.3.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Langkah 3.3.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Langkah 3.3.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Langkah 3.3.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.5.1

Tulis kembali $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ sebagai $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Langkah 3.3.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Langkah 3.3.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Langkah 3.3.4.3.5.4

Kalikan $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ .

$1 = \frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$

Langkah 6.2

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 1$

Langkah 6.2.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + C} = 1$

Langkah 6.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{1}{0 + C} = 1$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$\frac{1}{C} = 1$

Langkah 6.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$C, 1$

Langkah 6.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$C$

Langkah 6.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{C} = 1$ dengan $C$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{C} = 1$ dengan $C$ .

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Langkah 6.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = 1 C$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$1 = C$

Langkah 6.5

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C = 1$ .

$C = 1$

Langkah 7

Substitusikan $1$ untuk $C$ dalam $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1$ untuk $C$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + 1}$