Kalkulus Contoh

$(4 t e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} y} (4 t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 \frac{1}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{2 x} y}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} y} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} y$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (t e^{2 x}) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.3.2

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $t e^{2 x}$ .

$\frac{4}{e^{2 x} (y)} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{e^{2 x} y} (e^{2 x} t) d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{y} t d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{4}{y}$ dan $t$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{e^{2 x} y} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $y e^{2 x}$ dari $e^{2 x} y$ .

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} (1)} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 t}{y} d y = \frac{1}{y e^{2 x} \cdot 1} (y e^{2 x}) d x$

Langkah 2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 t}{y} d y = 1 d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{4 t}{y} d y = \int d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4 t$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4 t$ keluar dari integral.

$4 t \int \frac{1}{y} d y = \int d x$

Langkah 3.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$4 t (\ln (| y |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 3.3

Terapkan aturan konstanta.

$4 t \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$4 t \ln (| y |) = x + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Bagi setiap suku pada $4 t \ln (| y |) = x + C$ dengan $4 t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Bagilah setiap suku di $4 t \ln (| y |) = x + C$ dengan $4 t$ .

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 t \ln (| y |)}{4 t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Langkah 4.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Langkah 4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t \ln (| y |)}{t} = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Langkah 4.1.2.2.2

Bagilah $\ln (| y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$

Langkah 4.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Langkah 4.3

Tulis kembali $\ln (| y |) = \frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}} = | y |$

Langkah 4.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$ .

$| y | = e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$

Langkah 4.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x}{4 t} + \frac{C}{4 t}}$