Kalkulus Contoh

$y (3 + 2 x y^{2}) d x + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (3 + 2 x y^{2})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = 3 + 2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [3 + 2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + 2 x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [2 x y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (2 x (2 y)) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (4 x y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.5

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x (y^{1} y^{1}) + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{1 + 1} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + (3 + 2 x y^{2}) \cdot 1$

Langkah 1.9

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Kalikan $3 + 2 x y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y^{2} + 3 + 2 x y^{2}$

Langkah 1.9.2

Tambahkan $4 x y^{2}$ dan $2 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 3$

Langkah 1.9.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x + 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 (x^{2} y^{2} + x - 1)]$

Langkah 2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x - 1]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} + x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.4

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 \cdot y^{2} x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 2.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1 + 0)$

Langkah 2.9

Tambahkan $2 y^{2} x + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x + 1)$

Langkah 2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Langkah 2.10.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (y^{2} x) + 3 \cdot 1$

Langkah 2.10.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $6 y^{2} x + 3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $6 y^{2} x + 3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$6 y^{2} x + 3 = 6 y^{2} x + 3$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (3 + 2 x y^{2}) d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = y (3 + 2 x y^{2})$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y \int 3 + 2 x y^{2} d x$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = y (\int 3 d x + \int 2 x y^{2} d x)$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y (3 x + C + \int 2 x y^{2} d x)$

Langkah 5.4

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} \int x d x)$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y (3 x + C + 2 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y (3 x + y^{2} x^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

$y \frac{d}{d y} [3 x + y^{2} x^{2}] + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + y^{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]$ .

$y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.3

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.4

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$y (0 + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (0 + x^{2} (2 y)) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y (0 + 2 \cdot x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.8

Tambahkan $0$ dan $2 x^{2} y$ .

$y (2 x^{2} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.9

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.10

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{2} (y^{1} y^{1}) + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.11

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{2} y^{1 + 1} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.12

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + (3 x + y^{2} x^{2}) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.13

Kalikan $3 x + y^{2} x^{2}$ dengan $1$ .

$2 x^{2} y^{2} + 3 x + y^{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.14

Tambahkan $2 x^{2} y^{2}$ dan $y^{2} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.14.1

Susun kembali $y^{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.3.14.2

Tambahkan $2 x^{2} y^{2}$ dan $x^{2} y^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 3 x + \frac{d g}{d y} = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan $3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 0 + 0 + 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 9.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2} + x - 1)$

Langkah 9.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 (x^{2} y^{2}) + 3 x + 3 \cdot - 1$

Langkah 9.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangkan $3 x^{2} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 3 x = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2}$

Langkah 9.1.2.2

Kurangkan $3 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$

Langkah 9.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} y^{2} + 3 x - 3 - 3 x^{2} y^{2} - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.3.1

Kurangi $3 x^{2} y^{2}$ dengan $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 + 0 - 3 x$

Langkah 9.1.2.3.2

Tambahkan $3 x - 3$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x - 3 - 3 x$

Langkah 9.1.2.3.3

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - 3$

Langkah 9.1.2.3.4

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3$

Langkah 10

Temukan $- 3$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 3$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 d y$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = - 3 y + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = y (3 x + y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = y (3 x) + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Langkah 12.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = 3 y x + y (y^{2} x^{2}) - 3 y + C$

Langkah 12.3

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y x^{2} - 3 y + C$

Langkah 12.3.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{2} y^{1} x^{2} - 3 y + C$

Langkah 12.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x, y) = 3 y x + y^{2 + 1} x^{2} - 3 y + C$

Langkah 12.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (x, y) = 3 y x + y^{3} x^{2} - 3 y + C$