Kalkulus Contoh

$(3 x^{2} y^{3} + y^{4}) d x + (3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3} + y^{4}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2} y^{3}$ terhadap $y$ adalah $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Langkah 2.4

Karena $y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $4 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3} \cdot 1$

Langkah 2.5.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 0 + 4 y^{3}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $9 y^{2} x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 y^{2} x^{2} + 4 y^{3}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2} = 4 y^{3} + 9 x^{2} y^{2}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} + y^{4} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 3 x^{2} y^{3} + y^{4}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{3} d x + \int y^{4} d x$

Langkah 5.2

Karena $3 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3 y^{3}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 y^{3} \int x^{2} d x + \int y^{4} d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int y^{4} d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + y^{4} x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y^{3} (\frac{x^{3}}{3} + C) + y^{4} x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x^{3}$ terhadap $y$ adalah $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{4} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{4} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$3 x^{3} y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$3 x^{3} y^{2} + x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.4.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$3 x^{3} y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{2} + 4 y^{3} x = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $3 x^{3} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 4 y^{3} x = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $4 y^{3} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{3} y^{2} + y^{4} + 4 x y^{3} - 3 x^{3} y^{2} - 4 y^{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $3 x^{3} y^{2}$ dengan $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 x y^{3} + 0 - 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $y^{4} + 4 x y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 x y^{3} - 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $4 x y^{3}$ dan $- 4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 4 y^{3} x - 4 y^{3} x$

Langkah 9.1.3.4

Kurangi $4 y^{3} x$ dengan $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4} + 0$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $y^{4}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{4}$

Langkah 10

Temukan $y^{4}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{4} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{4} d y$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = \frac{1}{5} y^{5} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + \frac{1}{5} y^{5} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $y^{5}$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{3} + y^{4} x + \frac{y^{5}}{5} + C$