Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ , $y (2) = 8$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2 x^{4}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{4}}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $2 x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = 2 x^{3}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = 2 x^{3}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = 2 x^{3}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{2 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (2 x^{3})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Langkah 3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} x^{3}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}} (x^{2} x)$

Langkah 3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 2 x$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 2 x$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 2 x d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 2 x d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 \int x d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{2}} y = 1 x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{2} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{2} + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{2} + C) x^{2}$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (x^{2} + C) x^{2}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(x^{2} + C) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = x^{2} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = x^{2 + 2} + C x^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = x^{4} + C x^{2}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $2$ untuk $x$ dan $8$ untuk $y$ padda $y = x^{4} + C x^{2}$ .

$8 = 2^{4} + C \cdot 2^{2}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$ .

$2^{4} + C \cdot 2^{2} = 8$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 + C \cdot 2^{2} = 8$

Langkah 10.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$16 + C \cdot 4 = 8$

Langkah 10.2.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $C$ .

$16 + 4 C = 8$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kurangkan $16$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 C = 8 - 16$

Langkah 10.3.2

Kurangi $16$ dengan $8$ .

$4 C = - 8$

Langkah 10.4

Bagi setiap suku pada $4 C = - 8$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Bagilah setiap suku di $4 C = - 8$ dengan $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Langkah 10.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 8}{4}$

Langkah 10.4.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{- 8}{4}$

Langkah 10.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Bagilah $- 8$ dengan $4$ .

$C = - 2$

Langkah 11

Substitusikan $- 2$ untuk $C$ dalam $y = x^{4} + C x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $- 2$ untuk $C$ .

$y = x^{4} - 2 x^{2}$