Kalkulus Contoh

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $1 + x^{3}$ dari $(1 + x^{3}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Langkah 2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Langkah 2.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

Langkah 2.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

Langkah 2.6

Gabungkan $\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Langkah 3.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Langkah 3.3.2

Biarkan $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Biarkan $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Diferensialkan $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Langkah 3.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 + x$ dan $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 3.3.2.1.3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.2.1.3.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.2.1.3.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.2.1.3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Langkah 3.3.2.1.3.12

Kalikan $1 - x + x^{2}$ dengan $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.9

Tambahkan $- x$ dan $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.10

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.11

Tambahkan $x + 2 x^{2}$ dan $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.12

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.13

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.4.4.14

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

Langkah 3.3.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 3.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 3.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 3.3.5.3

Kalikan $\int \frac{1}{u} d u$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 3.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 3.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

Langkah 4.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

Langkah 4.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

Langkah 4.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

Langkah 4.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Langkah 4.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Langkah 4.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

Langkah 4.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1

Sederhanakan $e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.1

Perluas $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.2

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.6.1

Pindahkan $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.7

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.7.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.1.7.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.3.2.1.2.2.1

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.2.2

Tambahkan $1 + x^{2}$ dan $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.2.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

Langkah 4.5.3.2.1.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

Langkah 4.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | 1 + x^{3} |$ .

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

Langkah 4.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

Langkah 5.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | 1 + x^{3} |$